) ��w?��w�ú}��Vρ�P=B&US]��aQ�o�D`R�y�� �D1 �R�Pt�����N�F|M7�5�;v���ܼ��1�k�Fx���*�56����k�tO�W�1͚K_�_ݏ�be¢0��ѫ�5k�v)��ǻ6P�Ϫ�������M��zm�Ͽ��9ms�Z�J�'����B8k���@��� {\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}} である。これはすべての解析関数は局所的にテイラー級数によって表されることを意味する。, 解析関数の大域的な形はその局所的な振る舞いによって次の意味で完全に決定される: f と g が同じ連結開集合 U 上定義された2つの解析関数で、ある元 c ∈ U が存在してすべての n ≥ 0 に対して f(n)(c) = g(n)(c) が成り立つとき、すべての x ∈ U に対して f(x) = g(x) である。, 収束半径 r の冪級数が与えられると、級数の解析接続を考えることができる。つまり { x : |x − c| < r } よりも大きい集合上定義され、この集合上与えられた冪級数と一致する、解析関数 f を考えることができる。数 r は次の意味で最大である: 級数の解析接続が x において定義できることは決してないような、|x − c| = r なる複素数 x が、必ず存在する。, 解析関数の逆関数の冪級数展開はラグランジュの反転定理(英語版)を用いて決定することができる。, 抽象代数学において、冪級数の本質を、実数や複素数の体に制限されることなく、また収束について議論する必要なく、捉えようと試みられる。これは形式的冪級数の概念、代数的組合せ論(英語版)においてとても有益な概念、を導く。, の形の無限級数として定義される。ただし j = (j1, ..., jn) は自然数のベクトルであり、係数 a(j1,...,jn) は通常実数か複素数であり、中心 c = (c1, ..., cn) と引数 x = (x1, ..., xn) は通常実あるいは複素ベクトルである。記号 i ��81M�|�כ!��E���)���=�|QӕI\�h�O�H�r�C51��3�0�׶ ��ާO�� �G�b���14^�������.vߨD/֙�魩�n��L���}�.�2��/4�m��}��7��V��H~YܪY=�q�j�vS��W��V�e�**�\�B8R�7�i��ߚL-����<6����X�]� KX*c;T`�VyQ���/ AtCoder 第一回 日本最強プログラマー学生選手権 -予選- → ■ 問題F – Candy Retribution → ■ 自分の提出 → ■ 私はこの問題は、コンテスト中には解ききれなかった(解き方は分かったものの、残り時間がなくて実装を終えられなかった)のですが、公式解説にはない、形式的べき級数による考察をとったので、考察の要点などを書き残しておこうと思います。また、この問題をきっかけとして、形式的べき級数の数え上げへの基本的 … log U^�|�w(6f��s4�fe��=d�EZ(���8���^˲g͈B�� k�z�#R\V{���6k"��m'W�.�9���k��b�j�Q1C�1F�&�����ox鴶}}Ep�R���к�b��?T������"�8j�.���Ɂsh�kf�q֖ͮg�:�B���(HP�7�?��P�_���A��B^?C�=�c��f�U �b������u�iw�� n は順序付けられた n 個の自然数の組全体の集合である。, そのような級数の理論は一変数の級数よりもトリッキーで、収束域は複雑である。例えば、冪級数 f ( = 1 = 事実(今回のテーマ) どんな関数も,べき級数(無限次の多項式関数)として表すことができる. {\displaystyle \mathbb {N} ^{n}} �t��t6rL�0V�����31%���+��Ɣ���4 5′ のような文字列が与えられる。それぞれの「’?’」を 0 ~ 9 まで埋めて、$13$ の倍数を作る方法を数え上げよ。※ 桁数:$N\leqq 10^5$. n ( 2 {\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)} 問題文 → ■自分の提出 → ■公式解説 → ■ : �n�ͯ7����[p�@�,ru5^��v�9��Ǫ�?����}�5�6�f��hv������T{V���U� �Pe@�R��e%E�P� N Tc�P��G���2�!�������! 2 が上の領域に属するときの点 数学において、(一変数の)冪級数(べききゅうすう、英: power series)あるいは整級数(せいきゅうすう、仏: série entière)とは, の形の無限級数である。ここで an は n 番目の項の係数を表し、c は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。, 多くの状況において c(級数の中心 (center))は 0 である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形, これらの冪級数は主に解析学において現れるが、組合せ論においても(形式的冪級数の一種である母関数として)現れ、電気工学においても(Z変換の名の下で)現れる。実数のよく知られた十進表記(英語版)もまた冪級数の例と見ることができる。係数は整数であり、引数 x は 1/10 に固定されている。数論における p 進数の概念もまた冪級数の概念と密接に関係している。, 冪級数の取り扱いには大きく分けて二つある。四則演算などの代数的性質のみに着目する形式冪級数と、関数などの解析的性質に着目する収束冪級数である。, 数列 (an)n∈N が有限列であるとき、つまり適当な自然数 m があって、n>mなら必ず an = 0 が成り立つような列であるとき、これを係数列とすることによって得られる形式冪級数, 多項式に対してはその係数列の有限性から係数が 0 にならない添字の最大値 max{n∈N | an ≠ 0} として次数 deg(f) を考えることができたが、冪級数に対して同じことを考えるとほとんど全部の冪級数の次数は無限大であり、したがって、形式冪級数は形の上では多項式の次数を無限大に飛ばした類似物であると見ることができる一方で、形式冪級数に対して次数を考えてもほとんど何の役にも立たないということになる。形式冪級数に対して“多項式における次数”のような役回りを演じるのは、係数が 0 にならない添字の最小値 min{n∈N | an ≠ 0} である。多項式と形式冪級数との関係は有理数と実数(の無限小数展開)および p-進数(の p-進展開)との関係の類似であり、実際に冪級数を有限体上で考えれば、これら類似性は大域体とその局所化である局所体との関係として一般的に取り扱われる。, 収束冪級数は形式冪級数にその収束域を考え合わせたもので、収束冪級数はその収束域上で関数を定める。特に複素解析において解析関数を取り扱う際に重要な役割を演じる。, 数列の持つ性質を母関数によって調べる組合せ論的な手法では、得られる冪級数が収束することが、冪級数に操作を施して得られた数列の性質をすべて肯定することになるため、収束性の確認は重要である。にもかかわらず、数列にとっては母関数が“何らかの意味で”収束する点を(中心以外に)持ちさえすればよいので、母関数の収束性にそれほど注意が払われることもない。, 任意の多項式は任意の中心 c のまわりの冪級数として容易に表すことができる。ただし係数のほとんどは 0 になる。冪級数は定義により無限個の項を持つからである。例えば、多項式 f(x) = x2 + 2x + 3 は中心 c = 0 のまわりの冪級数として, と書け、他の任意の中心 c のまわりの冪級数としても書ける[1]。冪級数を「無限次の多項式」のようなものとみなすことができる。冪級数は多項式ではないが。, は、|x| < 1 に対して有効であるが、冪級数の最も重要な例の1つであり、任意の実数 x に対して有効な指数関数の公式, 負冪は冪級数においては許されていない。例えば、 【問題】出典:EDPC-M リンク:■ $a_1,\ldots, a_N$ が与えられる。自然数 $0\leqq x_i\leqq a_i$ を選んで、$x_1+\cdots + x_N = K$ となるようにする方法の総数を求めよ。※ $N\leqq 100$, $a_i\leqq K\leqq 10^5$. 二項係数について... 概要 x n �1c*E�[s���Y���ƫj�'+y +@x1f�@w]Y�Ym����ak��������u��$����7�ZzC3�xV���C�I� ��ɆԂ…�s��}�8k�fmwU=Tm�^;h��&5�방Kd1��f���}��k��5�ú�a��L��T�C�p | 簡単な微分方程式を例題にとり、級数解の解法の意味とどのように級数展開するか説明する。初期条件は数列の初項を与え、展開係数が数列で表されため展開係数を求めることができる。整級数を使った解法をわかりやすく説明する。 ) = 2 f 解法 ]~}�ӥ�S��ݥ��k�Oݥ�k_�E�������o����qu�����R�����ڎ5�ˡ�����ۏ���zQ͵�Q�k��s]]�����0��x��w�._?.�������vl���j����z�����}��������3�F%�?l����ǧ�Z]��� �^]~�4U}U�~�^h� �� W����?>���pyV$� ��6c��߿�t�St�֪nfP�#�i!g@ƪկ �IH�6��׌ќa������_o�~�/���RCz��T�j�˳� N ������J�4�l@mf��fq ./�w���׺�\ܾ�ڙ�/G@��ih���?����� j�3��pTL�����B��wT$��k\.2�Cս����2�V�����������53����Z��F�ʈ�����f)�r���r]�s��E�Y� ? ) ��~߸�,VijD���b� ko��A��n��ta�+ldi���,�X�L�{)� 経路数に言い換える頭の良さそうな解法しか見なかったため、書きます。二項係数について何か上手くやりたいときは、たいていの場合は、計算対象を多項式についての何かだと読み替えると、ごく自然... 概要 問題文 → ■自分の提出 → ■公式解説 → ■ {\displaystyle x^{1/2}} x x�}َ-�u�{}�iy�mHu��s�4Ԑ�'�/���NUY"��6�6�>��vdD�x*��CD׭nݝ{Ǟ�? 本質的には、解説PDFと同一の解法でしたが、考察の手順は割と違っていた気がします。人によっては、着想が分かりやすくなると思うので、記しておきます。 x | , 既に埋まってる数値部分はそれっぽく遷移。それ以外は、$10^k$ の位のところに多項式 $F_k = \sum_{n=0}^{9}x^{10^kn}$ を当てます。, これらの積を計算すればよいですが、指数の $\pmod{13}$ での値だけが問題です。よって、$x^{13}=1$ というルールを追加した上で多項式の積を計算していくことになります(詳しい人向け:多項式環の剰余環 $K[X]/(X^{13}-1)$ における積)。, $x^5$ などをかけるのは係数の位置をずらすだけです。さらに、$F_n = F_{n+6}$ を利用すると、次が本質ということが分かります:, $F_0^{a_0}F_1^{a_1}\cdots F_5^{a_5}$ を($x^{13} = 1$ のもとで)計算せよ。$\sum a_i = N \leqq 10^5$。, 愚直計算で、多項式の積を $N$ 回程度計算することになります。(この方法でも解けて、コンテスト想定解と同等)。しかし、大きな $a$ に対して $F^a$ の計算する方法といえば、$\Theta(\log(a))$ の回数の乗算で計算できることはよく知られた通りかと思います。, 結局、この問題の主要部は $N$ について $\Theta(\log N)$ 時間で計算できます(’?’ の位置を検出するところに $\Theta(N)$ 要るので結局全体では $\Theta(N)$ 解法)。, 本問題で計算量が落ちることに言及していた人は少なかったような気がします。繰り返し二乗法の適用にあたり、多項式の積の, が本質的に使われています。が、多項式に対するこれらの性質は、新しいアルゴリズム知識として学ばずとも、空気のように使える方が多いのではないでしょうか?上の解説でも、交換法則や結合法則を利用した場所を明示していません。, などの形になると思いますが、多項式と違って高校数学までで馴染みが薄い人の方が多いと思います。また、この手の高速化は「行列累乗」というくくりで定跡化され語られているのをよく見かけますが、多項式で解釈できる場合にはそのようにしておいた方が、計算量も有利になります($D$ 次多項式の乗除の愚直計算は $\Theta(D^2)$ で、$D$ 次正方行列の乗除の愚直計算は $\Theta(D^3)$ です)。, 例をたくさん挙げようとすると、収集がつかなくなってきそうでしたので、この辺でいったん終わります。, ときには、その構造を代数的な変形として導出できるだろうということになります。(強めの主張ですが、例外はほぼ存在しないと思います。「問題を多項式の形に表すこと」の時点で困難な問題はたくさんあります。), 今回取り上げたのは、どの問題も、多項式という考え方がなくとも解けるものばかりです。またひとつひとつの問題自体は、組合せ的解釈などによる方が簡単に、あるいは自然に立式できていると感じる方も多いと思います。ただ、一見すると全く異なる数え上げテクニックが、文字式を簡単にするという共通の考え方から同じように導かれているところは注目に値すると思います。, ・ABC 159 F – Knapsack for All Segments ・JSC2019-qual F-Candy Retribution・KUPC2019 K-One or All. , は2つの双曲線の間の集合 n i n + + | �V$��,Z���`Y��벜��(���1�rD���%�l��T�z�!�w�_1?�|��\�!J�P�V(�@���-���eՔ�~�6��s���zX�шY`���_k��wCf�e��n�EV��"[i�����h�et�w� 8��!�뎩���;Ku������0��pzȬ��C��/`��i�� k�Ua���#@�j���C!�ګs�B�G̳�f5�������V ����(�AG��A�l���9�UB))�^��Km�V׻�dV+���ڃ� �$"��K��mV*�{�J=XF� < �����"��}^��A��+��g�,��� 8h,���0���z�6ek��n�� k����}{�P��50�.0G�u��R�z��1Uc�f��� ( 【問題】出典:ABC135-D リンク:■‘ ? f − で絶対収束する。(これは log 凸集合の例である、つまり 全体の集合は凸集合である。より一般に、c = 0 のとき、絶対収束領域の内部は常にこの意味で log 凸集合であることを示すことができる。)一方、この収束領域の内部では、通常の冪級数のときとまったく同様に、項別に微分・積分ができる。, α を冪級数 f(x1, x2, …, xn) に対する多重指数とする。冪級数 f のオーダー (order) は aα ≠ 0 なる最小の値 |α| と定義される。ただし f ≡ 0 のときは 0 と定義される。とくに、一変数 x の冪級数 f(x) に対して、f のオーダーは非零係数を持つ x の最小冪である。この定義は直ちにローラン級数に拡張される。, https://books.google.com/books?id=AcI-AAAAIAAJ, Complex Power Series Module by John H. Mathews, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=冪級数&oldid=73428657. べき級数とは • 級数とは? →数列{an}の各項を順に加えた式のこと.(p.15を参照) • べき級数とは? →級数の各項がxのべき関数cnxn である級数のこと(cn は定数). 2 x 2 ベキ関数の和によっていろいろな関数を作ることができます。 これを自在に作るためにはどうしたら良いのでしょうか? 今度は、ある関数は無限のベキ関数の級数に表すことができるとしましょう。 そうすると、微分をすることで、それぞれの係数を求めることができます。 1 } ) − {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}} %PDF-1.3 前回は、いろいろな数え上げの問題が、多項式(形式的べき級数)の問題に変換されることを確認しました。しかしこれだけでは、通常の dp の考え方をそのまま翻訳しただけです。まぁデータの持ち方を多項式にしただけですからね。, 多項式に言い換えられる時点で、 dp の遷移の立式はできているわけです。一方で、時にはそのままの立式に基づくと計算量が大きすぎて、計算量の削減に迫られるときもあるでしょう。, 文字式の計算に帰着している場合も同様で、何らかの式変形の形により高速計算がしやすい形にもっていく必要があります。 このような事例を見ていきましょう。, \[(x+y)^n = \sum_{0\leq i\leq n}\binom{n}{i}x^iy^{n-i}\] が成り立つ。, $\binom{n}{i}$ は二項係数で、${}_n\mathrm{C}_i$ の表記をする場合もあります。, なお、$i < 0$ や $i > n$ に対して $\binom{n}{i} = 0$ なので、和のとる範囲は適当でよくて、例えば $\sum_{i=0}^{\infty}$ と書いたりしてもよいです。, $r\neq 1$ に対して、\[\sum_{i=0}^{n-1}r^i = \frac{1-r^n}{1-r}\]が成り立つ。, $F = \sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n$ のような式を、形式的べき級数といいます。多項式もある種の形式的べき級数です。$G = \sum_{n=0}^{\infty} g_nx^n$ も形式的べき級数とするとき、これらの和・差・積が次の要領で定義されます:\[[x^n](F\pm G) = f_n \pm g_n,\qquad [x^n](FG) = \sum_{i+j=n}f_ig_j.\] 個別の係数の定義には無限和が現れないため、極限操作などを必要とせず純代数的に定義が可能です。, 重要な性質として、$F\pm G $・$FG$ の $n$ 次未満の部分は $F,G$ の $n$ 次未満だけから決まります。$n$ 次未満だけに注目すると、形式的べき級数の演算規則は多項式の演算(より正確には多項式 $\pmod{x^n}$ の演算) と同一です。, このことから、形式的べき級数の和・差・積は、交換法則・結合法則・分配法則など、演算に関する自然な要請を十分に満たすことも分かります。(※ 専門用語で、環をなすという)(※ 多項式環から形式的べき級数環を得る操作は、「環のイデアルによる完備化」という操作の特殊な場合。重要な類似物に、$p$ 進整数環など。), 「位相」というのは、「極限」を定義するための構造です。言葉を持ち出しましたが、位相空間などの知識は必要ありません。また厳密なことが分かっていなくても、雑に扱ってしまって正しい結論になることが多いので、難しそうならば読み飛ばしても大丈夫です。(初めここは書くつもりがなかったが、よく見たら必要だったのであわてて書いています), 形式的べき級数 $F$ は、最低次の項が高いほど、$0$ に近いと考えて扱います。このことを利用して、形式的べき級数の列の極限を定義することができます:, 【定義】形式的べき級数列 $F_1,F_2,F_3\cdots$ が $F$ に収束するとは、任意の $k$ に対してある $N$ が存在して、$n\geq N$ ならば $F_n$ と $F$ の $k$ 次未満部分が一致することを指す。, 形式的べき級数 $F,G$ に対して $FG = 1$ が成り立つとき、$F$ を $G$ の(あるいは $G$ を $F$ の)逆元といい、$F = \frac{1}{G}$ などと書きます。$F\cdot \frac{1}{G}$ を $\frac{F}{G}$ と書きます。, いわゆる分数と同じ表記をしますが、実際に分数と同様の計算ルール($\frac{F_1}{G_1}\pm\frac{F_2}{G_2}=\frac{F_1G_2\pm F_2G_1}{G_1G_2}$ など)を満たすことが確認できます(分数の計算ルールは、結合法則・分配法則などから導かれます)。逆元としては、次が最頻出です。, \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}x^n.\], 実際、$(1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots)$ を計算してみようとすると、係数が定数項を除き $0$ になることが確認できます。 同様に、$F$ が定数項を持たない形式的べき級数であるとき, \[\frac{1}{1-F} = 1 + F + F^2 + F^3 + F^4 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}F^n.\], 右辺はちゃんとやると、上述の「形式的べき級数環の位相」で述べた極限概念です。部分和が等比数列の和から $\frac{1-F^N}{1-F}$ の形、左辺との差は $\frac{F^N}{1-F}$ となりますが、$F$ に定数項がなければこの式に $N$ 次未満の項は存在せず、正当性が保証されます。, 【問題】$N$ を正の整数の和として表す方法を数え上げよ。ただし、和の順序の違いは区別する。, $N = 4$ なら、$4, 1+3, 3+1, 2+2, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 1+1+1+1$ の $8$ 通りがあります。 この問題は、和をとる個数 $n$ ごとに計算すると、次のように多項式計算に帰着できました。, $F = x+x^2+x^3+x^4+\cdots$ とするとき、$[x^N]\sum_{n=0}^{\infty}F^n$ が答である。, 実はこの時点で、一番短い解法(組合せ解釈で一瞬)と比べるとかなり遠回りをしてしまっています。無限和になっていますし。, それでも「文字式を式変形で簡単にしていく」という視点で自然に解けることを確認しましょう。, まず、$F = x\cdot \frac{1}{1-x} = \frac{x}{1-x}$ です。調べたいものは $G = \sum_{n=0}^{\infty}F^n$ ですが、これは $G = \frac{1}{1-F}$ と表せます。$F = \frac{x}{1-x}$ を代入して整理すると、\[ G = \frac{1-x}{1-2x}\] であることが分かります。, \[G = (1-x)\cdot \frac{1}{1-2x} = (1-x)(1+2x+4x^2+8x^3+\cdots)\] などとして計算すると、$N$ 次の係数は、$N=0$ のとき $1$、$N\geqq 1$ のとき $2^N – 2^{N-1} = 2^{N-1}$ であることが分かります。, あるいは、次のような変形をしても同じ結論が得られます: \[G = \frac12 + \frac12\cdot\frac{1}{1-2x} = \frac12 + \frac12(1+2x+4x^2+8x^3+\cdots).\], とにかく文字式の問題に翻訳できてさえいれば、あとはその文字式のなるべく自然な表示を探ってあげることで、数え上げ対象の簡単な表示や計算方法が見えてきます。文字式の式変形の力量を、直接的に数え上げに活かすことができます。, なお、恐らく最も易しい方法は、組合せ的な解釈(対応付け)を利用するもの。4=1+2+1 → 〇|〇〇|〇 (1個・2個・1個の〇の間に仕切りを入れる)とすると、4の分割が、「3ヶ所に対して仕切りを入れる・入れないの2択を行うこと」と対応して、$2^3$ 通り。, 文字式が因数分解されると、それに従って計算手順が簡略化される場合があります。例えば、次を見てみましょう。, 【問題】出典:ARC-012 リンク:■座標平面上を、原点から出発してランダムウォークする。$T$ 秒後に $(a,b)$ に到達する移動経路数を求めよ。※ 二項係数の事前計算のもと、1件あたり $O(1)$ 時間で計算せよ, $F = (x + x^{-1} + y + y^{-1})$ とするとき、$[x^{a}y^{b}] F^{T}$ を求めよ。, $F$ は、次のように因数分解できます:\[ F = (xy)^{-1}(x^2y + xy^2 + x + y) = (xy)^{-1}(xy+1)(x+y).\] $F^T$ を二項定理で展開してみましょう。, \[\begin{align*} (xy)^{-T}(xy+1)^{T}(x+y)^{T} &= (xy)^{-T} \sum_{i,j}\binom{T}{i}\binom{T}{j}(xy)^{i}1^{T-i}x^{j}y^{T-j}\\ &= \sum_{i,j} \binom{T}{i}\binom{T}{j} x^{i+j-T}y^{i-j}.\end{align*}\], したがって、$[x^{a}y^{b}] F^{T}$ を計算するに際しては、$I = \{(i,j)\mid i+j-T=a, i-j=b\}$ として $\sum_{(i,j)\in I}\binom{T}{i}\binom{T}{j}$ を計算すればよいです。$I$ は高々 1 元集合になって、計算結果が得られます。, この問題は 1 次元なら簡単ですので、2 次元の場合も移動回数を $x$・$y$ 方向に割り振れば、経路数は適当な二項係数の積で表されます。よって、二項係数のシグマ計算による立式がすぐに出来て、これをうまく処理しても解くことができます。二項係数のシグマ計算を頑張る際にも多項式の道具はとても便利で、このことは(【2回あとくらいの記事】)で取り扱う予定です。, 本問題は、DEGwerさんの、数え上げPDF(■)でも取り上げられています(14.3節)。45度回転する、要するに $(x,y)$ の代わりに $(x+y,x-y)$ を考えるというものです。, $A = x^{1/2}y^{1/2}$, $B = x^{1/2}y^{-1/2}$ とすると、$f = (A+A^{-1})(B+B^{-1})$ と書くことができて、1 回の遷移が「$A$ または $A^{-1}$ を選ぶ」「$B$ または $B^{-1}$ を選ぶ」を独立に行うことだと思えます。これが、$45$ 度回転盤面で左右・上下の移動を独立に選ぶことと対応します。, 文字式に対する自然な操作から、数え上げに対するアドホックな言い換えが自然に導かれていることに注目してください。(文字式の操作・数え上げの言い換え、それぞれがどのくらい自然に思えるのかは人それぞれなんですが), 二項係数の多重和をいじると思っても、45 度回転のような言い換えを探すと思っても、かなり上位の問題になると思いますが、多項式を因数分解するという視点に立てば類題の範疇になっていると思います。.